Question

13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{xy≥0}\\{|x+y|≤1}\end{array}\right.$，則該不等式組表示的平面區(qū)域的面積為1，若目標(biāo)函數(shù)z₁=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有2個(gè)，則目標(biāo)函數(shù)z₁=ax+y+3的最小值是2．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，求出平面區(qū)域的面積，利用z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有2個(gè)，利用數(shù)形結(jié)合確定a的取值即可得到結(jié)論．

解答 解：不等式組$\left\{\begin{array}{l}{xy≥0}\\{|x+y|≤1}\end{array}\right.$，等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{x≥0，y≥0}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤0，y≤0}\\{-x-y≤1}\end{array}\right.$，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則平面區(qū)域?yàn)閮蓚�(gè)相同的直角三角形，則S=2×$\frac{1}{2}×1×1$=1．
由z=ax+y得y=-ax+z，
若a=0時(shí)，直線y=-ax+z=z，此時(shí)取得最大值的最優(yōu)解只有一個(gè)，不滿足條件．
若-a＞0，則直線y=-ax+z截距取得最大值時(shí)，z取的最大值，
此時(shí)滿足直線y=-ax+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，D時(shí)滿足條件，此時(shí)-a=1，解得a=-1．
若-a＜0，則直線y=-ax+z截距取得最大值時(shí)，z取的最大值，此時(shí)z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有1個(gè)或者無(wú)數(shù)個(gè)，不滿足條件．
綜上滿足條件的a=-1，即z=-x+y+3，
則y=x+z-3，當(dāng)直線y=x+z-3經(jīng)過(guò)B（1，0），C（0，-1）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，
此時(shí)z=-1+0+3=2，
故答案為：1，2

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，結(jié)合z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有2個(gè)，利用結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．