Question

如圖，已知OPQ是半徑為

7

、圓心角為

π

3

的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記∠AOC=α．
（1）當(dāng)α=

π

6

時(shí)，OA、OB的長(zhǎng)；
（2）求

OA

•

OB

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,弧度制的應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）在Rt△OBC中，由條件利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得BC、OB的值，可得OA=AD•tan

π

6

=

3

3

BC的值．
（Ⅱ）由條件利用三角恒等變換化簡(jiǎn)

OA

•

AB

為

7

3

sin（2α+

π

6

）-

7

6

，再根據(jù) 0＜α＜

π

3

，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得它的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）在Rt△OBC中，BC=

7

sin

π

6

=

7

2

，OB=

7

cos

π

6

=

21

2

．
在Rt△ODA中，∠AOD=

π

3

∠ODA=

π

6

，∴OA=AD•tan

π

6

=

3

3

BC=

21

6

，
AB=OB-OA=

21

2

-

21

6

=

21

3

．
（Ⅱ）在Rt△OBC中，BC=

7

sinα，OB=

7

cosα．
在Rt△ODA中，∴OA=DA•tan

π

6

=

3

3

BC=

21

3

sinα，
∴AB=OB-OA=

7

（cosα-

3

3

sinα），則

OA

•

AB

=OA•AB=

7

（cosα-

3

3

sinα）•

21

3

sinα
=

7 3

3

（cosα-

3

3

sinα）•sinα=

7 3

3

（sinαcosα-

3

3

sin²α ）
=

7 3

3

•[

1

2

sin2α-

3

6

（1-cos2α）]=

7 3

3

•[

1

3

（

3

2

sin2α+

1

2

cos2α）-

3

6

]
=

7

3

sin（2α+

π

6

）-

7

6

．
∵0＜α＜

π

3

，∴

π

6

＜2α+

π

6

＜

5π

6

，故當(dāng)2α+

π

6

=

π

2

時(shí)，即α=

π

6

時(shí)，

OA

•

AB

取得最大值為

7

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．