【題目】如圖,已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面ABC是等邊三角形,側(cè)面BB1C1C是菱形,∠B1BC=60°.

(1)求證:BC⊥AB1;
(2)若AB=2,AB1= ,求二面角C﹣AB1﹣C1(銳角)的余弦值.

【答案】
(1)證明:∵四邊形BB1C1C是菱形,∠CBB1=60°,

∴△BB1C是等邊三角形,

取BC的中點(diǎn)為O,連結(jié)OA,OB,則BC⊥OB1

又∵△ABC是等邊三角形,∴BC⊥OA,

∵OA∩OB1,∴BC⊥平面AOB1

∵AB1平面AOB1,∴BC⊥AB1


(2)解:∵△ABC和△BB1C是全等的等邊三角形,AB=2,

∴OA=OB1=

又∵AB1= ,∴ ,∴OB1⊥OA,

又∵OB1⊥BC,∴OB1⊥平面ABC,

分別以O(shè)A,OB,OB1所在的直線作為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

則A( ),B(0,1,0),C(0,﹣1,0),

=(0,﹣1,﹣ ), =(﹣ ), =(0,﹣2,0), =(﹣ ,﹣1,0),

設(shè) =(x,y,z)是平面C1AB1的一個法向量,

,取x=1,得 =(1,0,1),

設(shè) =(a,b,c)是平面CAB1的一個法向量,

,取a=1,得 =(1,﹣ ,1),

cos< >= = = ,

∴二面角C﹣AB1﹣C1(銳角)的余弦值為


【解析】(1)推導(dǎo)出△BB1C是等邊三角形,取BC的中點(diǎn)為O,則BC⊥OB1 , 由△ABC是等邊三角形,得BC⊥OA,從而BC⊥平面AOB1 , 由此能證明BC⊥AB1 . (2)分別以O(shè)A,OB,OB1所在的直線作為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角C﹣AB1﹣C1(銳角)的余弦值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識,掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點(diǎn).

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【題目】如圖,是導(dǎo)數(shù)y=f′x)的圖象,則函數(shù)y=fx)的圖象是(  )

A.

B.

C.

D.

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A. B. C. D.

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【題目】隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,居民的儲蓄存款逐年增長.設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如下表:

年份

2010

2011

2012

2013

2014

時間代號

1

2

3

4

5

儲蓄存款 (千億元)

6

7

8

9

10

(1)求關(guān)于的回歸方程

(2)用所求回歸方程預(yù)測該地區(qū)2015年的人民幣儲蓄存款.

附:回歸方程中, ,

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【題目】如圖1所示,在等腰梯形中, .把沿折起,使得,得到四棱錐.如圖2所示.

(1)求證:面;

(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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【題目】某高中學(xué)校在2015年的一次體能測試中,規(guī)定所有男生必須依次參加50米跑、立定跳遠(yuǎn)和一分鐘的引體向上三項(xiàng)測試,只有三項(xiàng)測試全部達(dá)標(biāo)才算合格,已知男生甲的50米跑和立定跳遠(yuǎn)的測試與男生乙的50米跑測試已達(dá)標(biāo),男生甲還需要參加一分鐘的引體向上測試,男生乙還需要參加立定跳遠(yuǎn)和一分鐘引體向上兩項(xiàng)測試,若甲參加一分鐘引體向上測試達(dá)標(biāo)的概率為p,乙參加立定跳遠(yuǎn)和一分鐘引體向上的測試達(dá)標(biāo)的概率均為 ,甲乙每一項(xiàng)測試是否達(dá)標(biāo)互不影響,已知甲和乙同時合格的概率為
(1)求p的值,并計(jì)算甲和乙恰有一人合格的概率;
(2)在三項(xiàng)測試項(xiàng)目中,設(shè)甲達(dá)標(biāo)的測試項(xiàng)目項(xiàng)數(shù)為x,乙達(dá)標(biāo)的測試項(xiàng)目項(xiàng)數(shù)為y,記ξ=x+y,求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】規(guī)定記號“*”表示一種運(yùn)算,a*b=a2+ab,設(shè)函數(shù)f(x)=x*2,且關(guān)于x的方程f(x)=ln|x+1|(x≠﹣1)恰有4個互不相等的實(shí)數(shù)根x1 , x2 , x3 , x4 , 則x1+x2+x3+x4=

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(2)若對任意的t∈[-1,2],不等式f(t2-2t-1)+f(2t2-k)<0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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