Question

【題目】某高中學(xué)校在2015年的一次體能測試中，規(guī)定所有男生必須依次參加50米跑、立定跳遠(yuǎn)和一分鐘的引體向上三項(xiàng)測試，只有三項(xiàng)測試全部達(dá)標(biāo)才算合格，已知男生甲的50米跑和立定跳遠(yuǎn)的測試與男生乙的50米跑測試已達(dá)標(biāo)，男生甲還需要參加一分鐘的引體向上測試，男生乙還需要參加立定跳遠(yuǎn)和一分鐘引體向上兩項(xiàng)測試，若甲參加一分鐘引體向上測試達(dá)標(biāo)的概率為p，乙參加立定跳遠(yuǎn)和一分鐘引體向上的測試達(dá)標(biāo)的概率均為 ，甲乙每一項(xiàng)測試是否達(dá)標(biāo)互不影響，已知甲和乙同時(shí)合格的概率為 ．
（1）求p的值，并計(jì)算甲和乙恰有一人合格的概率；
（2）在三項(xiàng)測試項(xiàng)目中，設(shè)甲達(dá)標(biāo)的測試項(xiàng)目項(xiàng)數(shù)為x，乙達(dá)標(biāo)的測試項(xiàng)目項(xiàng)數(shù)為y，記ξ=x+y，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)事件A1=“甲引體向上測試達(dá)標(biāo)”，B1=“乙立定跳遠(yuǎn)測試達(dá)標(biāo)”，

B2=“乙引體向上測試達(dá)標(biāo)”，則P（A1）=p，P（B1）=P（B2）= ，

∵甲乙每一項(xiàng)測試是否達(dá)標(biāo)互不影響，甲和乙同時(shí)合格的概率為 ，

∴p×（ ）2= ，解得p= ，

設(shè)事件A=“甲測試合格”，B=“乙測試合格”，

則P（A）= ，P（B）=P（B1B2）=（ ）2= ，

∴甲和乙恰有一人合格的概率：

p=P（A ）+P（ B）= + = ．

（2）解：由已知得隨機(jī)變量x的取值為2，3，隨機(jī)變量y的取值為1，2，3，

∴ξ的可能取值為3，4，5，6，

P（ξ=3）= = ，

P（ξ=4）= = ，

P（ξ=5）= = ，

P（ξ=6）= = ，

∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	3	4	5	6
P

∴E（ξ）= = ．

【解析】（1）設(shè)事件A1=“甲引體向上測試達(dá)標(biāo)”，B1=“乙立定跳遠(yuǎn)測試達(dá)標(biāo)”，B2=“乙引體向上測試達(dá)標(biāo)”，則P（A1）=p，P（B1）=P（B2）= ，由此利用題設(shè)條件求出p= ，設(shè)事件A=“甲測試合格”，B=“乙測試合格”，則P（A）= ，P（B）=P（B1B2）= ，由此能求出甲和乙恰有一人合格的概率．（2）由已知得隨機(jī)變量x的取值為2，3，隨機(jī)變量y的取值為1，2，3，ξ的可能取值為3，4，5，6，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和E（ξ）．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列．