Question

【題目】如圖1所示，在等腰梯形中， .把沿折起，使得，得到四棱錐.如圖2所示.

（1）求證：面面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先由平面幾何知識證明，可得面，從而得，進(jìn)而可得，于是面，最后由面面垂直的判定定理可得結(jié)論；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩半平面的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：（1）證明：在等腰梯形中，可知.因?yàn)?/span>，可得.

又因?yàn)?/span>，即，則.

又，可得面，故.

又因?yàn)?/span>，則，

，則，

所以，

又，所以面，

又面，所以面面；

（2）

設(shè)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

在中，∵， ，

∴，則，

∵，

∴，則，

∵，

∴，

∴，

∴，

設(shè)平面的法向量為，

由，得，

取，可得平面的法向量為，

設(shè)平面的一個法向量為，

由，得，

取，可得平面的一個法向量為.

設(shè)平面與平面所成銳二面角為，

則，

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.