Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x2-

1

3

ax3(a＞0)，函數(shù)g（x）=f（x）+e^x（x-1），其導(dǎo)數(shù)為g′（x），若a=e，
（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：x＞0時(shí)，不等式g′（x）≥1+lnx恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）a=e時(shí)，求g（x）的導(dǎo)函數(shù)g′（x），當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，g（x）單調(diào)增，g′（x）＜0時(shí)，g（x）的單調(diào)減，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由g′（x）≥1+lnx?e^x-ex+1≥

1+lnx

x

，由（i）h（x）=e^x-ex+1≥1，得1≥

1+lnx

x

，即1+lnx-x≤0；設(shè)φ（x）=1+lnx-x（x＞0），求φ（x）的最大值與0比較即可證明．

解答： 解：（1）∵a=e，
∴函數(shù)f（x）=

1

2

x2-

1

3

ex3，
∴函數(shù)g（x）=f（x）+e^x（x-1）=

1

2

x2-

1

3

ex3+e^x（x-1），
∴g′（x）=x（e^x-ex+1）；
設(shè)h（x）=（e^x-ex+1），則h′（x）=e^x-e，
當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）是減函數(shù)；
x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）是增函數(shù)；
∴h（x）≥h（1）=1＞0；
∴在（0，+∞）上，g′（x）＞0，在（-∞，0）上，g′（x）＜0；
∴g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0）；
證明：（2）x＞0時(shí)，g′（x）=x（e^x-ex+1）≥1+lnx?e^x-ex+1≥

1+lnx

x

；
由（1）知，h（x）=e^x-ex+1≥1，
∴1≥

1+lnx

x

，
∴1+lnx-x≤0；
設(shè)φ（x）=1+lnx-x（x＞0），則φ′（x）=

1-x

x

；
在區(qū)間（0，1）上，φ′（x）＞0，φ（x）是增函數(shù)，
在區(qū)間（1，+∞）上，φ′（x）＜0，φ（x）是減函數(shù)；
∴φ（x）≤φ（1）=0，
即1+lnx-x≤0，

1+lnx

x

≤1，
∴e^x-ex+1≥1≥

1+lnx

x

，
即g′（x）≥1+lnx恒成立；

點(diǎn)評：本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性，極值以及證明不等式恒成立的問題，是較難的題目．