Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n=2-S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并寫(xiě)出其通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）用三段論證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理,數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法

專(zhuān)題：規(guī)律型

分析：（I）由已知中數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n=2-S_n（n∈N^*）．將n=1，2，3，4分別代入，可得a₁，a₂，a₃，a₄的值，分析規(guī)律后，可得a_n的表達(dá)式．
（Ⅱ）將等比數(shù)列的定義做為大前提，（I）中猜想做為小前提，可得結(jié)論：{a_n}是等比數(shù)列．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n=2-S_n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2-S₁=2-a₁，解得：a₁=1，
當(dāng)n=2時(shí)，a₂=2-S₂=2-a₁-a₂，解得：a₂=

1

2

，
當(dāng)n=3時(shí)，a₃=2-S₃=2-a₁-a₂-a₃，解得：a₃=

1

4

，
當(dāng)n=4時(shí)，a₄=2-S₄=2-a₁-a₂-a₄-a₄，解得：a₄=

1

8

，
…
由此歸納推理得：a_n=(

1

2

)n-1，（n∈N^*）． …（6分）
（Ⅱ）∵通項(xiàng)公式為a_n的數(shù)列{a_n}，
若

an+1

an

=p，p是非零常數(shù)，則{a_n}是等比數(shù)列；
因?yàn)橥��?xiàng)公式a_n=(

1

2

)n-1，
又

an+1

an

=

1

2

；
所以通項(xiàng)公式a_n=(

1

2

)n-1的數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理和演繹推理，熟練掌握兩種推理的定義和適用范圍，是解答的關(guān)鍵．