Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c滿足對(duì)?x∈R，都有f（x-2）=f（-x-2），且方程f（x）+1=0有重根．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)a_n=

f(n)+2

f(n)

（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件知函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸為x=-2，x²+4x+c+1=0有重根，由此能求出f（x）=x²+4x+3．
（2）由an=

f(n)+2

f(n)

=1+

1

n+1

-

1

n+3

，利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）∵對(duì)?x∈R，都有f（x-2）=f（-x-2），
∴函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸為x=-2，
∴

b

2

=-2，解得b=4，
又方程f（x）+1=0有重根，即x²+4x+c+1=0有重根，
∴△=16-4（c+1）=0，∴c=3，
故f（x）=x²+4x+3．
（2）由an=

f(n)+2

f(n)

=1+

2

n2+4n+3

=1+

2

(n+1)(n+3)

=1+

1

n+1

-

1

n+3

，n∈N^*，
∴Sn=n+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

4

-

1

6

)+…+(

1

n+1

-

1

n+3

)
=n+

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

=n+

5

6

-

2n+5

(n+2)(n+3)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．