【題目】

給定橢圓,稱(chēng)圓心在原點(diǎn),半徑為的圓是橢圓準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為,其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為.

I)求橢圓的方程和其準(zhǔn)圓方程;

(II )點(diǎn)P是橢圓C準(zhǔn)圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作直線,使得與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),且分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)M,N.

1)當(dāng)P準(zhǔn)圓軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求的方程;

2)求證:|MN|為定值.

【答案】I(II )1;(2)見(jiàn)解析

【解析】

I)因?yàn)?/span>,所以

所以橢圓的方程為,

準(zhǔn)圓的方程為.

II)(1)因?yàn)闇?zhǔn)圓軸正半軸的交點(diǎn)為P0,2,

設(shè)過(guò)點(diǎn)P02),且與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為,

所以,消去y,得到,

因?yàn)闄E圓與只有一個(gè)公共點(diǎn),

所以,

解得.

所以方程為.

2當(dāng)中有一條無(wú)斜率時(shí),不妨設(shè)無(wú)斜率,

因?yàn)?/span>與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),則其方程為,

當(dāng)方程為時(shí),此時(shí)與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)

此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)()且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是

(),即(),顯然直線垂直;

同理可證方程為時(shí),直線垂直.

當(dāng)都有斜率時(shí),設(shè)點(diǎn),其中

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為,

,消去得到,

,

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到:,

因?yàn)?/span>,所以有,

設(shè)的斜率分別為,因?yàn)?/span>與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn),

所以滿足上述方程,

所以,即垂直.

綜合①②知:因?yàn)?/span>經(jīng)過(guò)點(diǎn),又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)M,N,且垂直,

所以線段MN為準(zhǔn)圓的直徑,所以|MN|=4.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求橢圓的方程;

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