Question

11．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，右焦點與拋物線y²=4x的焦點F重合．
（1）求橢圓的方程；
（2）過F的直線l交橢圓于A、B兩點，橢圓的左焦點力F'，求△AF'B的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得F（1，0），即c=1，再通過$e=\frac{1}{2}$及c²=a²-b²計算可得橢圓的方程；
（2）由題設l：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線l與橢圓方程，結合韋達定理，得${S}_{△A{F}^{′}B}$=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，利用換元法計算即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意，得F（1，0），∴c=1，
又$e=\frac{1}{2}$，∴a=2，∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）顯然l的斜率不為0，設l：x=my+1，
聯(lián)立直線l與橢圓方程$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化簡，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則△＞0恒成立，
由韋達定理，得y₁+y₂=$-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$，
∴${S}_{△A{F}^{′}B}$=$\frac{1}{2}|F′F|•|{y}_{1}-{y}_{2}|$
=|y₁-y₂|
=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{（-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}）^{2}-4\frac{-9}{3{m}^{2}+4}}$
=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
令t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，t≥1，則m²=t²-1，
∴${S}_{△A{F}^{′}B}$=$\frac{12t}{3{t}^{2}+1}$=$\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}$，
令$u（t）=3t+\frac{1}{t}\\;\\;（t≥1）$ （t≥1），則$u′（t）=\frac{3{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$=$\frac{3（t+\frac{\sqrt{3}}{3}）（t-\frac{\sqrt{3}}{3}）}{{t}^{2}}$＞0，
∴u（t）在[1，+∞）上單調遞增，
∴當t=1即m=0時，u_min（t）=u（1）=4，（${S}_{△A{F}^{′}B}$）_max=3，
故當m=0時，△AF'B的面積的最大值為3．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，直線與橢圓的位置關系，三角形的面積計算公式，韋達定理，換元法，函數(shù)的單調性等知識，屬于中檔題．