Question

2．已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）設(shè)a=-1，求證：當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）+2＞0
（3）求證：$\frac{ln2}{2}$•$\frac{ln3}{3}$•$\frac{ln4}{4}$…$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{1}{n}$（n∈N₊且n≥2）

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后分a=0，a＞0和a＜0分析導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的符號，由導(dǎo)函數(shù)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）把a(bǔ)=-1代入函數(shù)解析式，由（1）知f（x）在（1，+∞）遞增，結(jié)合f（x）＞f（1）=-2得答案；
（3）由（2）知當(dāng)x∈（1，+∞）時，-lnx+x-1＞0，即x-1＞lnx，則lnn＜n-1，進(jìn)一步得到0＜$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{n-1}{n}$，然后利用累積法證得$\frac{ln2}{2}$•$\frac{ln3}{3}$•$\frac{ln4}{4}$…$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{1}{n}$．

解答 （1）解：由f（x）=alnx-ax-3，
得f′（x）=$\frac{a}{x}-a=\frac{a（1-x）}{x}$，
1°若a=0，則f（x）=-3，函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，無單調(diào)區(qū)間；
2°若a＞0，則當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）上遞減；
3°若a＜0，f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增．
（2）證明：∵a=-1，∴f（x）=-lnx+x-3，
由（1）知f（x）在（1，+∞）遞增，
∴f（x）＞f（1）=-2，
∴f（x）+2＞0．
（3）證明：由（2）知當(dāng)x∈（1，+∞）時，-lnx+x-1＞0，
∴x-1＞lnx，
∵n≥2，
∴l(xiāng)nn＜n-1，
∴0＜$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{n-1}{n}$．
∴$\frac{ln2}{2}$•$\frac{ln3}{3}$•$\frac{ln4}{4}$…$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$…$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n}$（n∈N₊且n≥2）．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用函數(shù)的單調(diào)性證明數(shù)列不等式，考查了學(xué)生的邏輯思維能力和靈活應(yīng)變能力，屬難題．