Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
（1）分別求f（$\frac{1}{2}$）+f（2），f（$\frac{1}{3}$）+f（3），f（$\frac{1}{4}$）+f（4）的值；
（2）歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明；
（3）求值：f（$\frac{1}{2014}$）+f（$\frac{1}{2013}$）+f（$\frac{1}{2012}$）+…+f（$\frac{1}{2}$）+f（1）+f（2）+…f（2013）+f（2014）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，直接代入計算可得f（$\frac{1}{2}$）+f（2），f（$\frac{1}{3}$）+f（3），f（$\frac{1}{4}$）+f（4）；
（2）由（1）可猜想f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=1，先計算出f（$\frac{1}{x}$），再與f（x）相加后化簡可得緒論；
（3）根據(jù)（2）中結(jié)論，可得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
∴f（$\frac{1}{2}$）+f（2）=$\frac{1}{5}$+$\frac{4}{5}$=1，
f（$\frac{1}{3}$）+f（3）=$\frac{1}{10}$+$\frac{9}{10}$=1，
f（$\frac{1}{4}$）+f（4）=$\frac{1}{17}$+$\frac{16}{17}$=1，
（2）由（1）可猜想f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=1，證明如下：
∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
∴f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{（\frac{1}{x}）}^{2}}{1+{（\frac{1}{x}）}^{2}}$=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，
∴f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=1，
（3）由（2）得：
f（$\frac{1}{2014}$）+f（$\frac{1}{2013}$）+f（$\frac{1}{2012}$）+…+f（$\frac{1}{2}$）+f（1）+f（2）+…f（2013）+f（2014）=2013$\frac{1}{2}$

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的值，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．