Question

8．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N^*）
（1）求a₂，a₃；
（2）求證：數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$是等差數(shù)列；
（3）求出數(shù)列{a_n}的前n項之和S_n．

Answer 1

分析 （1）令n=2，3，代入即可得到所求值；
（2）對條件兩邊同除以2ⁿ，再由等差數(shù)列的定義即可得證；
（3）由等差數(shù)列的通項公式，可得a_n=（2n-1）•2^n-1，再由數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）由a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N^*），
可得a₂=2a₁+2=4；
a₃=2a₂+4=2×4+4=12；
（2）證明：由a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N^*），
可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1，
即有數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$是首項為$\frac{1}{2}$，公差為1的等差數(shù)列；
（3）$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$+n-1=$\frac{2n-1}{2}$，
即有a_n=（2n-1）•2^n-1，
前n項之和S_n=1•1+3•2+5•4+…+（2n-1）•2^n-1，
2S_n=1•2+3•4+5•8+…+（2n-1）•2ⁿ，
兩式相減可得，-S_n=1+2（2+4+8+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ
=1+2•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ，
化簡可得，S_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

點評 本題考查等差數(shù)列的定義和通項公式的運用，同時考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查運算能力，屬于中檔題．