Question

已知函數(shù)f（x）=cosx•（sinx+cosx）
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）設(shè)g(x)=f(x+

π

8

)，判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并加以證明．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角與兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后直接求f（x）的最小正周期；
（II）求出g(x)=f(x+

π

8

)的表達(dá)式，通過函數(shù)的奇偶性的定義，直接證明即可．

解答：解：（I）由f（x）=cosxsinx+cos²x=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

．
∴f（x）的最小正周期是π．
（II）因?yàn)?span id="1zfva7m" class="MathJye">g(x)=f(x+

π

8

)=

2

2

sin(2x+

π

2

)+

1

2

=

2

2

cos2x+

1

2

，
g(-x)=

2

2

cos(-2x)+

1

2

=

2

2

cos2x+

1

2

=g（x），
∴函數(shù)g（x）是偶函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的奇偶性的判斷，考查計(jì)算能力．