Question

曲線y=2x⁴上的點(diǎn)到直線y=-x-1的距離的最小值為（　　）

• A、

  2

• B、

  2

  2

• C、

  2

  3

• D、

  5 2

  16

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離

分析：將問題轉(zhuǎn)化為曲線與直線平行的切線和直線的距離；利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出曲線與已知直線平行的切線；利用兩條平行線的距離公式求出距離的最小值

解答： 解：曲線y=2x⁴上一點(diǎn)到直線y=-x-1的距離的最小值可轉(zhuǎn)化為曲線與直線平行的切線和直線的距離
y′=8x³
令8x³=-1，解得x=-

1

2

．
∴y=2×(-

1

2

)4=

1

8

．
∴切點(diǎn)A（-

1

2

，

1

8

）．y-

1

8

=-(x+

1

2

)．
即x+y+

3

8

=0．
又y=-x-1即為x+y+1=0，
∴最小距離為d=

1- 3 8

2

=

5 2

16

．
∴曲線y=2x⁴上的點(diǎn)到直線y=-x-1的距離的最小值為

5 2

16

．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的切線斜率、兩平行線的距離的公式，屬于中檔題．