Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且.

（1）求的取值范圍；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，即可求出函數(shù)的最小值，要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)則，即可求出參數(shù)的取值范圍，再驗(yàn)證即可；

（2）由得，令，則，是與交點(diǎn)橫坐標(biāo).求出的導(dǎo)數(shù)，即可求出的單調(diào)性與最值，得到，再構(gòu)造函數(shù)，證明其單調(diào)性從而得證；

（1），由得，

當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；

在處取得最小值，解得.

，，在上有1個(gè)零點(diǎn)；

，，，令，則，，，

，在上有1個(gè)零點(diǎn)，

綜上，的取值范圍是.

（2）由得，令，則，是與交點(diǎn)橫坐標(biāo).

，當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

在處取得最小值，，

設(shè)，，是減函數(shù)，

，，

，，

、，在上遞減，，即.