Question

若f(x)=

1

3

x3-4x+2與直線y=k有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：將題中條件：“函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k只有一個(gè)公共點(diǎn)，”等價(jià)于“g（x）=f（x）-k，所以g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)”，利用導(dǎo)數(shù)求得原函數(shù)的極值，最后要使g（x）的其圖象和x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，得到關(guān)于k的不等關(guān)系，從而求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：令g（x）=f（x）-k，所以g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，
因?yàn)間′（x）=f′（x）=x²-4
所以令g′（x）=0，解得x=2或x=-2，
所以情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	增	極大值	減	極小值	增

g（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于g（-2）＜0或g（2）＞0，
所以-

8

3

+8+2-k＜0或

8

3

-8+2-k＞0，解得k＞

22

3

或k＜-

10

3

．
故答案為：k＞

22

3

或k＜-

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)在極值問(wèn)題中的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化思想．