Question

18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠DBC=45°，$\frac{BD}{BC}$=$\sqrt{2}$，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面BDE；
（2）求證：DE⊥PB．
（3）若PD=2，求點(diǎn)A到平面BDE的距離．

Answer 1

分析 （1）連接AC，AC∩BD=O，連接OE，則O是AC的中點(diǎn)，證明：PA∥OE，即可證明PA∥平面BDE；
（2）證明DE⊥平面PBC，即可證明：DE⊥PB．
（3）由V_E-ABD=V_A-BDE可得點(diǎn)A到平面BDE的距離．

解答 （1）證明：連接AC，AC∩BD=O，連接OE，則O是AC的中點(diǎn)，
∵E是PC的中點(diǎn)，
∴PA∥OE，
∵PA?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PA∥平面BDE；
（2）證明：∵底面ABCD是平行四邊形，∠DBC=45°，$\frac{BD}{BC}$=$\sqrt{2}$，
∴底面ABCD是正方形，∴BC⊥CD，DC=BC，
∵側(cè)棱PD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PCD，
∴BC⊥DE，
∵PD=CD，E是PC的中點(diǎn)，
∴DE⊥PC，
∵BC∩PC=C，
∴DE⊥平面PBC，
∵PB?平面PBC，
∴DE⊥PB；
（3）解：設(shè)點(diǎn)A到平面BDE的距離為h，則
△BDE中，BD=2$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{2}$，BE=$\sqrt{6}$，
∴BD²=DE²+BE²，
∴DE⊥BE，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{6}$=$\sqrt{3}$，
由V_E-ABD=V_A-BDE可得$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•2•1$=$\frac{1}{3}•\sqrt{3}h$，∴h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即點(diǎn)A到平面BDE的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查點(diǎn)A到平面BDE的距離，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．