Question

8．曲線y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$與直線y=k（x+2）+5有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，-$\frac{3}{4}$）
• B． （-∞，-1]
• C． （-$\frac{3}{4}$，0]
• D． [-1，0]

Answer 1

分析 根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)，以及直線和圓的位置關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：由y=k（x+2）+5知直線l過(guò)定點(diǎn)（-2，5），將y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$，移項(xiàng)兩邊平方得x²+（y-1）²=4（y≥1），
則曲線是以（0，1）為圓心，2為半徑，且位于直線y=1上方的半圓．
當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)（2，1）時(shí)，直線l與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
此時(shí)k=$\frac{5-1}{-2-2}$=-1，
當(dāng)直線l與曲線相切時(shí)，直線和圓有一個(gè)交點(diǎn)，
圓心（0，1）到直線kx-y+5+2k=0的距離d=$\frac{|5+2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
解得k=-$\frac{3}{4}$，
要使曲線y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$與直線y=k（x+2）+5有兩個(gè)交點(diǎn)，
則直線l夾在兩條直線之間，
因此-1≤k＜-$\frac{3}{4}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．