Question

11．設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a+b=c+d，證明：
（1）若ab＞cd，則$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrtvu2eple$；
（2）若$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrtkzqkmjc$，則|a-b|＜|c-d|．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用兩邊平方，結(jié)合條件和不等式的性質(zhì)，即可得證；
（2）由$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrty2k2bcm$，兩邊平方，由條件結(jié)合不等式的性質(zhì)，可得|a-b|＜|c-d|，即可得證．

解答 證明：（1）由（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）²=a+b+2$\sqrt{ab}$，
（$\sqrt{c}$+$\sqrtdm1oeuq$）²=c+d+2$\sqrt{cd}$，
由a+b=c+d，ab＞cd，
可得（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）²＞（$\sqrt{c}$+$\sqrtz1ufnhg$）²，
即為$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrtkecaj7b$；
（2）若$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrtecwxjat$，
則（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）²＞（$\sqrt{c}$+$\sqrtxijyemg$）²，
即有a+b+2$\sqrt{ab}$＞c+d+2$\sqrt{cd}$，
由a+b=c+d，即有ab＞cd，
（a-b）²=（a+b）²-4ab＜（c+d）²-4cd=（c-d）²，
可得|a-b|＜|c-d|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用不等式的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．