Question

20．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|．
（1）若不等式f（x+$\frac{1}{2}$）≤2m+1（m＞0）的解集為[-2，2]，求實數(shù)m的值；
（2）對任意x，y∈R，求證：f（x）≤2^y+$\frac{4}{{2}^{y}}$+|2x+3|．

Answer 1

分析 （1）由題意可得|2x|≤2m+1，（m＞0），由解集為[-2，2]，可得2m+1=4，即可得到m的值；
（2）原不等式即為|2x-1|-|2x+3|≤2^y+$\frac{4}{{2}^{y}}$．運用絕對值不等式的性質(zhì)可得不等式左邊的最大值為4，由基本不等式可得右邊的最小值為4，即可得證．

解答 解：（1）不等式f（x+$\frac{1}{2}$）≤2m+1?|2x|≤2m+1，（m＞0），
由解集為[-2，2]，可得2m+1=4，
解得m=$\frac{3}{2}$；
（2）證明：原不等式即為|2x-1|-|2x+3|≤2^y+$\frac{4}{{2}^{y}}$．
由g（x）=|2x-1|-|2x+3|≤|（2x-1）-（2x+3）|=4，
當2x+3≤0，即x≤-$\frac{3}{2}$時，g（x）取得最大值4，
又2^y+$\frac{4}{{2}^{y}}$≥2$\sqrt{{2}^{y}•\frac{4}{{2}^{y}}}$=4，當且僅當2^y=$\frac{4}{{2}^{y}}$，即y=1時，取得最小值4．
則|2x-1|-|2x+3|≤2^y+$\frac{4}{{2}^{y}}$．
故原不等式成立．

點評 本題考查不等式的解法，注意運用方程和不等式的轉(zhuǎn)化思想，考查不等式的證明，注意運用絕對值不等式的性質(zhì)和基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題．