3．設函數(shù)f（x）=|x-$\frac{4}{a}$|+|x+a|（a＞0）．
（1）證明：f（x）≥4；
（2）若f（2）＜5，求a的取值范圍．

分析 （1）利用絕對值三角不等式，化簡，然后利用基本不等式證明即可．
（2）化簡f（2）＜5，通過對a與2的大小比較，討論求解不等式的解集即可．

解答 證明：（1）$|x-\frac{4}{a}|+|x+a|≥|x+a+\frac{4}{a}-x|=a+\frac{4}{a}≥4$；當且僅當a=2時取等號．…（4分）
解：（2）①當a=2時，$|2-\frac{4}{a}|+|2+a|＜5$顯然滿足；
②當0＜a≤2時，$⇒a+\frac{4}{a}＜5$，即a2-5a+4＜0⇒1＜a＜4，聯(lián)立求解得1＜a≤2；
③當a＞2時，⇒a2-a-4＜0，⇒$\frac{{1-\sqrt{17}}}{2}＜a＜\frac{{1+\sqrt{17}}}{2}$，聯(lián)立求解得$2＜a＜\frac{{1+\sqrt{17}}}{2}$
綜上，a的取值范圍為$1＜a＜\frac{{1+\sqrt{17}}}{2}$．…（10分）

點評 本題考查絕對值不等式的證明與解法，考查分類討論思想以及轉化思想的應用，難度比較大．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

13．若x∈[0，+∞），則下列不等式不恒成立的是（　�。�
A．ex≥x+1B．ln（x+2）-ln（x+1）$＜\frac{1}{x+1}$
C．$\frac{2}{π}$x+cosx≥1+sinxD．cosx≥1-$\frac{1}{2}$x2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

14．2015年中國汽車銷售遇到瓶頸，各大品牌汽車不斷加大優(yōu)惠力度．某4S店在一次促銷活動中，讓每位參與者從盒子中任取一個由0～9中任意三個數(shù)字組成的“三位遞減數(shù)”（即個數(shù)數(shù)字小于十位數(shù)字，十位數(shù)字小于百位數(shù)字）．若“三位遞減數(shù)”中的三個數(shù)字之和既能被2整除又能被5整除，則可以享受5萬元的優(yōu)惠；若“三位遞減數(shù)”中的三個數(shù)字之和僅能被2整除，則可以享受3萬元的優(yōu)惠；其他結果享受1萬元的優(yōu)惠．
（1）試寫出所有個位數(shù)字為4的“三位遞減數(shù)”；
（2）若小明參加了這次汽車促銷活動，求他得到的優(yōu)惠金額X的分布列及數(shù)字期望EX．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

11．設a，b，c，d均為正數(shù)，且a+b=c+d，證明：
（1）若ab＞cd，則$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrtafv72o8$；
（2）若$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrtovl7z82$，則|a-b|＜|c-d|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

18．已知箱中有5個粉球和4個黑球，且規(guī)定：取出一個粉球得2分，取出一個黑球得1分．現(xiàn)從該箱中任�。o放回，且每球取得的機會均等）3個球，記隨機變量X為取出此3球所得分數(shù)之和．
（1）求得分X的分布列；
（2）求得分大于4分的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

8．某同學在獨立完成課本上的例題：“求證：$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$＜2$\sqrt{5}$”后，又進行了探究，發(fā)現(xiàn)下面的不等式均成立．
$\sqrt{0}$+$\sqrt{10}$＜2$\sqrt{5}$
$\sqrt{1.3}$+$\sqrt{8.7}$＜2$\sqrt{5}$
$\sqrt{2}$+$\sqrt{8}$＜2$\sqrt{5}$
$\sqrt{4.6}$+$\sqrt{5.4}$＜2$\sqrt{5}$，
$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$≤2$\sqrt{5}$．
（1）請根據(jù)上述不等式歸納出一個一般性的不等式；（用字母表示）
（2）請用合適的方法證明你寫出的不等式成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

15．某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，抽獎方法是：從裝有2個紅球A1，A2和2個白球B1，B2的甲箱與裝有3個紅球a1，a2，a3和1個白球b1的乙箱中，各隨機摸出1個球，若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎．
（Ⅰ）用球的標號列出所有可能的摸出結果；
（Ⅱ）有人認為：兩個箱子中的紅球比白球多，所以中獎的概率大于不中獎的概率，你認為正確嗎？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

12．已知點M（2，1）及圓x2+y2=4，則過點M的圓的切線方程為x=2或3x+4y-10=0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．某年級中兩個班級的同學準備報名參加義務勞動，甲班有1名男同學和2名女同學報名，乙班有1名男同學和1名女同學報名．
（1）若從兩個班報名的同學中各選1名同學，求2名同學是異性同學的概率；
（2）若從報名的5名同學中任選2名同學，求這2名同學不能同時來同一個班的概率．

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