Question

設S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和且n∈N₊，所有項a_n＞0，且S_n=

1

4

a

2 n

+

1

2

a_n-

3

4

．
（1）證明：{a_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：等差關系的確定,等差數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用S_n=

1

4

a

2 n

+

1

2

a_n-

3

4

寫出S_n+1，結合數(shù)列的前n項和與a_n的關系，兩式相減解答．
（2）利用（1）的結論求之．

解答： 解：（1）因為S_n=

1

4

a

2 n

+

1

2

a_n-

3

4

．
所以4S_n=a_n²+2a_n-3，4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1-3，
兩式相減整理可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-2=0，
∴a_n+1-a_n=2，
{a_n}成等差數(shù)列；
（2）由（1）可知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并且4S₁=a₁²+2a₁-3，
所以a₁=3或-1（舍去），公差為2，
所以a_n=2n+1．

點評：本題考查了等差數(shù)列的定義的運用以及通項公式的求法；一般的，求證一個數(shù)列為等差數(shù)列，采用定義證明的較多．