Question

15．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，$\frac{sinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}cosB}$．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）求sinAcosC的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理及已知可解得tanB=$\sqrt{3}$，結(jié)合范圍B∈（0，π），即可求得B的值．
（Ⅱ）利用三角形內(nèi)角和定理及兩角和的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得sinAcosC=-$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，結(jié)合范圍0$＜A＜\frac{2π}{3}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解取值范圍．

解答 （本題滿(mǎn)分為10分）
解：（Ⅰ）∵由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，$\frac{sinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}cosB}$．
∴sinB=$\sqrt{3}$cosB，可得tanB=$\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$…4分
（Ⅱ）∵sinAcosC=-sinAcos（A+B）=-sinAcos（A+$\frac{π}{3}$），
∴-sinAcos（A+$\frac{π}{3}$）=-sinA（$\frac{1}{2}$cosA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA）=-$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵0$＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{3}$，
∴sinAcosC∈[$\frac{-2+\sqrt{3}}{4}$，$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$]…10分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)及兩角和的余弦函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．