Question

15．如圖所示，△ABD和△CBD是全等的等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，AC=$\sqrt{6}$，F(xiàn)、G分別為AD、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面ABD⊥平面CBD；
（2）求直線FG與平面ADC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導(dǎo)出AE⊥平面CBD，由此能證明平面ABD⊥平面CBD．    
（2）分別以E為原點(diǎn)，EB，EC，EA所在直線為x，y，z軸，建立坐標(biāo)系，利用向量法能求出求直線FG與平面ADC所成角的正弦值．

解答 （1）證明：取BD的中點(diǎn)E，連接AE，CE，
∵△ABD和△CBD是全等的等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，
∴AE=CE=$\sqrt{3}$，
∵AC=$\sqrt{6}$，∴AE⊥CE，
∵AE⊥BD，CE∩BD=E，
∴AE⊥平面CBD，
∵AE?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面CBD；
（2）解：以E為原點(diǎn)，EB，EC，EA所在直線為x，y，z軸，建立坐標(biāo)系，
則A（0，0，$\sqrt{3}$），D（-1，0，0），F(xiàn)（-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{FG}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
設(shè)平面ADC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}z=0}\\{x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{FG}$＞=$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{3+1+1}•\sqrt{1+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{5}$，
∴直線FG與平面ADC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線FG與平面ADC所成角的正弦值，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．