已知橢圓C:的離心率為,長軸長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)若直線交橢圓C于A、B兩點,試問：在y軸正半軸上是否存在一個定點M滿足,若存在,求出點M的坐標；若不存在,請說明理由．

（I）.（II）存在點滿足.

解析試題分析：（I）利用橢圓的幾何性質(zhì)得.
（II）通過研究時，可知滿足條件，若所求的定點M存在，則一定是P點.
證明就是滿足條件的定點.
將直線方程與橢圓方程聯(lián)立并整理，應用韋達定理，將用坐標表示，根據(jù)
得到使的點.
試題解析：（I）由題意得，              2分
解得                3分
橢圓的方程為.                4分
（II）當時，直線與橢圓交于兩點的坐標分別為，
設(shè)y軸上一點,滿足, 即，
∴解得或（舍），
則可知滿足條件，若所求的定點M存在，則一定是P點.        6分
下面證明就是滿足條件的定點.
設(shè)直線交橢圓于點,.
由題意聯(lián)立方程       8分
由韋達定理得，             9分

∴

            11分
∴，即在y軸正半軸上存在定點滿足條件.       12分
解法2：
設(shè)y軸上一點,滿足, 即，        5分
設(shè)直線交橢圓于點, .
由題意聯(lián)立方程       7分
由韋達定理得，             8分

∴

           10分
整理得，
由對任意k都成立，得
且
解得                                   11分
所以存在點滿足.                12分
考點：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，平面向量的坐標運算.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知圓,若橢圓的右頂點為圓的圓心，離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若存在直線，使得直線與橢圓分別交于兩點，與圓分別交于兩點，點在線段上，且，求圓的半徑的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知線段MN的兩個端點M、N分別在軸、軸上滑動，且，點P在線段MN上，滿足，記點P的軌跡為曲線W．
(1)求曲線W的方程，并討論W的形狀與的值的關(guān)系；
(2)當時，設(shè)A、B是曲線W與軸、軸的正半軸的交點，過原點的直線與曲線W交于C、D兩點，其中C在第一象限，求四邊形ACBD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知過點的橢圓：的右焦點為，過焦點且與軸不重合的直線與橢圓交于，兩點，點關(guān)于坐標原點的對稱點為，直線，分別交橢圓的右準線于，兩點.

（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點的坐標為，試求直線的方程；
（3）記，兩點的縱坐標分別為，，試問是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為、，為原點.
（1）如圖1，點為橢圓上的一點，是的中點，且，求點到軸的距離；

（2）如圖2，直線與橢圓相交于、兩點，若在橢圓上存在點，使四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓,橢圓以的長軸為短軸,且與有相同的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)O為坐標原點,點A,B分別在橢圓和上, ,求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，右焦點為，右頂點在圓：上.
（Ⅰ）求橢圓和圓的方程；
（Ⅱ）已知過點的直線與橢圓交于另一點，與圓交于另一點.請判斷是否存在斜率不為0的直線，使點恰好為線段的中點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（13分）點P為圓上一個動點，M為點P在y軸上的投影，動點Q滿足．
（1）求動點Q的軌跡C的方程；
（2）一條直線l過點，交曲線C于A、B兩點，且A、B同在以點D（0，1）為圓心的圓上，求直線l的方程。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點為，點是點關(guān)于軸的對稱點，過點的直線交拋物線于兩點。
（Ⅰ）試問在軸上是否存在不同于點的一點，使得與軸所在的直線所成的銳角相等，若存在，求出定點的坐標，若不存在說明理由。
（Ⅱ）若的面積為，求向量的夾角；

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