已知圓,若橢圓
的右頂點為圓
的圓心,離心率為
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若存在直線,使得直線
與橢圓
分別交于
兩點,與圓
分別交于
兩點,點
在線段
上,且
,求圓
的半徑
的取值范圍.
(1) (2)
解析試題分析:,
(1)從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心的坐標(biāo)即為橢圓的右頂點,即可得到a值,再由橢圓離心率、a值結(jié)合、abc之間的關(guān)系可得到b值,即得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)聯(lián)立直線與橢圓方程并利用弦長公式可用斜率k表示弦長|AB|,|GH|.由對稱性得到|AB|=|GH|,得到r關(guān)于k的表達(dá)式,再根據(jù)表達(dá)式可以利用函數(shù)值域求法中的換元法解得r的取值范圍.
試題解析:
(1)設(shè)橢圓的焦距為2C,因為a=,
,
,所以橢圓C的方程為
.
(2)設(shè)A,聯(lián)立直線與橢圓方程得
,則
,又因為點M(
)到直線l的距離d=
。所以
,顯然若點H也在直線AB上,則由對稱性可知,直線y=kx就是y軸與已知矛盾,所以要使得|AG|=|BH|,只要|AB|=|GH|,所以
,
當(dāng)k=0時,,當(dāng)k
時,
,由于
,綜上
.
考點:橢圓方程極其性質(zhì) 弦長
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F是拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點,M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點,過M,F,O三點的圓的圓心為Q,點Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為.
(1)求拋物線C的方程.
(2)是否存在點M,使得直線MQ與拋物線C相切于點M?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,動點
滿足:點
到定點
與到
軸的距離之差為
.記動點
的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)過點的直線交曲線
于
、
兩點,過點
和原點
的直線交直線
于點
,求證:直線
平行于
軸.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓,左、右兩個焦點分別為
、
,上頂點
,
為正三角形且周長為6,直線
與橢圓
相交于
兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)一個焦點為,且離心率
的橢圓
上下兩頂點分別為
,直線
交橢圓
于
兩點,直線
與直線
交于點
.
(1)求橢圓的方程;
(2)求證:三點共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的左、右焦點分別為
,離心率為
,P是橢圓上一點,且
面積的最大值等于2.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點M(0,2)作直線與直線
垂直,試判斷直線
與橢圓的位置關(guān)系5
(3)直線y=2上是否存在點Q,使得從該點向橢圓所引的兩條切線相互垂直?若存在,求點Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:
的左、右焦點分別為
、
,橢圓上的點
滿足
,且△
的面積為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的左、右頂點分別為
、
,過點
的動直線
與橢圓
相交于
、
兩點,直線
與直線
的交點為
,證明:點
總在直線
上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:的離心率為
,長軸長為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線交橢圓C于A、B兩點,試問:在y軸正半軸上是否存在一個定點M滿足
,若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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