Question

13．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α為直線的傾斜角）．
（I）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C有唯一的公共點(diǎn)，求角α的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過當(dāng)$α=\frac{π}{2}$時(shí)，當(dāng)$α≠\frac{π}{2}$時(shí)，分別求出直線l的普通方程．由ρ=2cosθ，得ρ²=2ρcosθ，然后求解曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）把x=-1+tcosα，y=tsinα代入x²+y²=2x，利用△=0，求解直線l傾斜角α．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)$α=\frac{π}{2}$時(shí)，直線l的普通方程為x=-1；
當(dāng)$α≠\frac{π}{2}$時(shí)，直線l的普通方程為y=（tanα）（x+1）．…（2分）
由ρ=2cosθ，得ρ²=2ρcosθ，
所以x²+y²=2x，即為曲線C的直角坐標(biāo)方程．…（4分）
（Ⅱ）把x=-1+tcosα，y=tsinα代入x²+y²=2x，整理得t²-4tcosα+3=0．當(dāng)α=$\frac{π}{2}$時(shí)，方程化為：t²+3=0，方程不成立，當(dāng)$α≠\frac{π}{2}$時(shí)，由△=16cos²α-12=0，得${cos^2}α\;=\;\frac{3}{4}$，所以$cosα\;=\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或$cosα\;=\;-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故直線l傾斜角α為$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．