【題目】已知函數(shù)f(x)=1+lnx﹣ ,其中k為常數(shù).
(1)若k=0,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程.
(2)若k=5,求證:f(x)有且僅有兩個零點;
(3)若k為整數(shù),且當(dāng)x>2時,f(x)>0恒成立,求k的最大值.

【答案】
(1)解:當(dāng)k=0時,f(x)=1+lnx.

因為f′(x)= ,從而f′(1)=1.

又f (1)=1,

所以曲線y=f(x)在點 (1,f(1))處的切線方程y﹣1=x﹣1,

即x﹣y=0


(2)解:證明:當(dāng)k=5時,f(x)=lnx+ ﹣4.

因為f′(x)= ,從而

當(dāng)x∈(0,10),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(10,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=10時,f(x)有極小值.

因f(10)=ln10﹣3<0,f(1)=6>0,

所以f(x)在(1,10)之間有一個零點.

因為f(e4)=4+ ﹣4>0,所以f(x)在(10,e4)之間有一個零點.

從而f(x)有兩個不同的零點


(3)解:方法一:由題意知,1+lnx﹣ >0對x∈(2,+∞)恒成立,

即k< 對x∈(2,+∞)恒成立.

令h(x)= ,則h′(x)=

設(shè)v(x)=x﹣2lnx﹣4,則v′(x)=

當(dāng)x∈(2,+∞)時,v′(x)>0,所以v(x)在(2,+∞)為增函數(shù).

因為v(8)=8﹣2ln8﹣4=4﹣2ln8<0,v(9)=5﹣2ln9>0,

所以存在x0∈(8,9),v(x0)=0,即x0﹣2lnx0﹣4=0.

當(dāng)x∈(2,x0)時,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)x∈(x0,+∞)時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=x0時,h(x)的最小值h(x0)=

因為lnx0= ,所以h(x0)= ∈(4,4.5).

故所求的整數(shù)k的最大值為4.

方法二:由題意知,1+lnx﹣ >0對x∈(2,+∞)恒成立.

f(x)=1+lnx﹣ ,f′(x)=

①當(dāng)2k≤2,即k≤1時,f′(x)>0對x∈(2,+∞)恒成立,

所以f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增.

而f(2)=1+ln2>0成立,所以滿足要求.

②當(dāng)2k>2,即k>1時,

當(dāng)x∈(2,2k)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)x∈(2k,+∞),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=2k時,f(x)有最小值f(2k)=2+ln2k﹣k.

從而f(x)>0在x∈(2,+∞)恒成立,等價于2+ln2k﹣k>0.

令g(k)=2+ln2k﹣k,則g′(k)= <0,

從而g(k) 在(1,+∞)為減函數(shù).

因為g(4)=ln8﹣2>0,g(5)=ln10﹣3<0,

所以使2+ln2k﹣k>0成立的最大正整數(shù)k=4.

綜合①②,知所求的整數(shù)k的最大值為4


【解析】(1)求出f(x)的解析式,求出導(dǎo)數(shù)和切線的斜率和切點坐標(biāo),由點斜式方程即可得到切線方程;(2)求出k=5時f(x)的解析式和導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)區(qū)間和極小值,再由函數(shù)的零點存在定理可得(1,10)之間有一個零點,在(10,e4)之間有一個零點,即可得證;(3)方法一、運用參數(shù)分離,運用導(dǎo)數(shù),判斷單調(diào)性,求出右邊函數(shù)的最小值即可; 方法二、通過對k討論,運用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間,求出f(x)的最小值,即可得到k的最大值為4.
【考點精析】利用函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

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