【題目】已知函數(shù), , ,
(1)求證:函數(shù)在點(diǎn)處的切線恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若在區(qū)間上恒成立,求的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),求證:在區(qū)間上,滿足恒成立的函數(shù)有無(wú)窮多個(gè).(記)
【答案】(1) 切線恒過(guò)定點(diǎn).(2) 的范圍是 (3) 在區(qū)間上,滿足恒成立函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)
【解析】試題分析:(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程為,故過(guò)定點(diǎn);(2)根據(jù)的取值的不同情況分類討論處理,最后得的范圍是;(3)見解析。
試題解析:
(1)因?yàn)?/span>,所以在點(diǎn)處的切線的斜率為,
所以在點(diǎn)處的切線方程為,
整理得,所以切線恒過(guò)定點(diǎn).
(2)令 ,對(duì)恒成立,
因?yàn)?/span>
令,得極值點(diǎn), ,
①當(dāng)時(shí),有,即時(shí),在上有,
此時(shí)在區(qū)間上是增函數(shù),并且在該區(qū)間上有,不合題意;
②當(dāng)時(shí),有,同理可知, 在區(qū)間上,有,也不合題意;
③當(dāng)時(shí),有,此時(shí)在區(qū)間上恒有,
從而在區(qū)間上是減函數(shù);
要使在此區(qū)間上恒成立,只須滿足,
所以.
綜上可知的范圍是.
(利用參數(shù)分離得正確答案扣2分)
(3)當(dāng)時(shí), ,
記, .
因?yàn)?/span>,
令,得
所以在為減函數(shù),在上為增函數(shù),
所以當(dāng)時(shí),
設(shè),則,
所以在區(qū)間上,滿足恒成立函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓G: + =1(b>0)的上、下頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為M、N和F,且△MFN的面積為4 .
(1)求橢圓G的方程;
(2)若斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點(diǎn).以AB為底作等腰三角形,頂點(diǎn)為P(﹣3,2),求△PAB的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】荊州市政府為促進(jìn)淡水魚養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展,將價(jià)格控制在適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi),決定對(duì)淡水魚養(yǎng)殖提供政府補(bǔ)貼.設(shè)淡水魚的市場(chǎng)價(jià)格為元/千克,政府補(bǔ)貼為元/千克.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,當(dāng)時(shí),淡水魚的市場(chǎng)日供應(yīng)量千克與市場(chǎng)日需求量千克近似滿足關(guān)系;.當(dāng)市場(chǎng)日供應(yīng)量與市場(chǎng)日需求量相等時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格.
(1)將市場(chǎng)平衡價(jià)格表示為政府補(bǔ)貼的函數(shù),并求其定義域;
(2)為使市場(chǎng)平衡價(jià)格不高于10元/千克,政府補(bǔ)貼至少為每千克多少元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是邊長(zhǎng)為4的正方形,動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的圓弧上,則的取值范圍是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=1+lnx﹣ ,其中k為常數(shù).
(1)若k=0,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程.
(2)若k=5,求證:f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn);
(3)若k為整數(shù),且當(dāng)x>2時(shí),f(x)>0恒成立,求k的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), ,其中.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域;
(2)若對(duì)任意,均有,求的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),設(shè),若的最小值為,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)﹣f(x)=2x(x∈R),且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣2tx在區(qū)間[﹣1,5]上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(3)若關(guān)于x的方程f(x)=x+m有區(qū)間(﹣1,2)上有唯一實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍(注:相等的實(shí)數(shù)根算一個(gè)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù), ().
(Ⅰ)若,設(shè),試證明存在唯一零點(diǎn),并求的最大值;
(Ⅱ)若關(guān)于的不等式的解集中有且只有兩個(gè)整數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,c= asinC﹣ccosA.
(1)求A;
(2)若a=2,△ABC的面積為 ,求b,c.
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