Question

在平面直角坐標系中，對于一條折線C：A₁-A₂-…-A_n，若能再作出一條折線C′：A₁-B₂-B₃-…-B_n-1-A_n，使得A₁B₂⊥A₁A₂，B₂B₃⊥A₂A₃，…，B_n-1A_n⊥A_n-1A_n（其中A₁，A₂，A₃，…，A_n，B₂，B₃，…，B_n-1都是整點），則稱折線C′是折線C的一條共軛折線（說明：橫、縱坐標均為整數(shù)的點成為整點）．
（Ⅰ）請分別判斷圖（1），（2）中，虛折線是否是實折線的一條個，共軛折線；

（Ⅱ）試判斷命題“對任意的n∈N且n＞2，總存在一條折線C：A₁-A₂-…-A_n有共軛折線”的真假，并舉例說明；
（Ⅲ）如圖（3），折線C：A₁-A₂-A₃-A₄，其中A₁（0，0），A₂（3，1），A₃（6，0），A₄（9，1）．求證：折線C無共軛折線．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：平面向量及應用

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知中折線C′是折線C的一條共軛折線的定義，判斷B_n-1A_n⊥A_n-1A_n是否橫成立，即可得到答案；
（II）分當n為奇數(shù)時，和當n為偶數(shù)時兩種情況，分析討論證明，最后綜合討論結果，可得：命題“對任意n∈N且n＞2，總存在一條折線C：A₁-A₂-…-A_n有共軛折線”是真命題；
（III）假設折線B₁-B₂-B₃-B₄是題設中折線C的一條共軛折線（其中B₁=A₁，B₄=A₄），設

BtBt+1

=(xt，yt)，則B_tB_t+1⊥A_tA_t+1，根據(jù)向量垂直的充要條件，構造方程組，判斷方程是否有解后，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）（1）不是，因為線段A₁B₂與線段A₁A₂不垂直；
（2）不是，因為線段B₂B₃與線段A₂A₃不垂直．…（2分）
（Ⅱ）命題“對任意n∈N且n＞2，總存在一條折線C：A₁-A₂-…-A_n有共軛折線”是真命題．理由如下：
當n為奇數(shù)時，不妨令n=2k-1，k=2，3，4，…，
取折線C：A₁-A₂-…-A_2k-1．其中 A_i（a_i，b_i）（i=1，2，…，2k-1），
滿足a_i=i-1（i=1，2，…，2k-1），b_2i-1=0（i=1，2，…，k），b_2i=1（i=1，2，…，k-1）．
則折線C的共軛折線為折線C關于x軸對稱的折線．如圖所示．

當n為偶數(shù)時，不妨令n=2k，k=2，3，4，…，
取折線C：A₁-A₂-…-A_2k．其中A_i（a_i，b_i）（i=1，2，…，2k），
滿足a_i=i-1（i=1，2，…，2k-1），a_2k=2k，b_2i-1=0（i=1，2，…，k），b_2i=1（i=1，2，…，k）．
折線C的共軛折線為折線C'：B₁-B₂-…-B_2k．
其中B_i（x_i，y_i）（i=1，2，…，2k）滿足：
x_i=i-1（i=1，2，…，2k-3），
x_2k-2=2k-1，x_2k-1=2k+1，x_2k=2k，
y_2i-1=0（i=1，2，…，k-1），
y_2i=-1（i=1，2，…，k-2），
y_2k-2=-3，
y_2k-1=-1，
y_2k=1．
如圖所示．…（7分）

注：本題答案不唯一．
證明：（Ⅲ）假設折線B₁-B₂-B₃-B₄是題設中折線C的一條共軛折線（其中B₁=A₁，B₄=A₄），
設

BtBt+1

=(xt，yt)（t=1，2，3），顯然x_t，y_t為整數(shù)．
則由B_tB_t+1⊥A_tA_t+1，
得：

3x1+y1=0，① 3x2-y2=0，② 3x3+y3=0，③ x1+x2+x3=9，④ y1+y2+y3=1．⑤

由①②③式得

y1=-3x1 y2=3x2 y3=-3x3

這與⑤式矛盾，因此，折線C無共軛折線．…（11分）

點評：本題考查的知識點是向量垂直的充要條件，其中正確理解新定義：折線C′是折線C的一條共軛折線的含義是解答的關鍵，本題綜合性強，運算量大，屬于難題．