Question

3．以直角坐標系原點O為極點，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t為參數，0＜α＜π）$，曲線C的極坐標方程為$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線A與曲線C相交于A，B兩點，已知定點P（$\frac{1}{2}$，0），當α=$\frac{π}{3}$時，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，即可求得曲線C的直角坐標方程；
（2）當α=$\frac{π}{3}$時，求得直線l的參數方程，代入拋物線方程，利用韋達定理及|PA|+|PB|=$|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}$，即可求得|PA|+|PB|的值．

解答 解：（1）由$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}得{ρ^2}{sin^2}θ=2ρcosθ$，
將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，整理得：y²=2x，
所以曲線C的直角坐標方程為y²=2x；…（5分）
（2）因為$α=\frac{π}{3}$，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t為參數）$，代入y²=2x，得3t²-4t-4=0，
設A，B兩點對應的參數分別為t₁，t₂，則${t_1}+{t_2}=\frac{4}{3}$，${t_1}{t_2}=-\frac{4}{3}$
∴|PA|+|PB|=$|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}$=$\frac{8}{3}$，
|PA|+|PB|的值$\frac{8}{3}$．…（10分）

點評 本題考查拋物線的極坐標方程，直線的參數方程，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理及弦長公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．