Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，動點P在以點C為圓心，且與直線BD相切的圓內(nèi)運動，設(shè)

AP

=α

AD

+β

AB

（α，β∈R），則α+β的取值范圍是（　　）

• A、（0，

  4

  3

  ]
• B、[

  4

  3

  ，

  5

  3

  ]
• C、（1，

  4

  3

  ）
• D、（1，

  5

  3

  ）

Answer 1

考點：向量在幾何中的應(yīng)用

專題：綜合題,平面向量及應(yīng)用

分析：建立直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，求出BD的方程，求出圓的方程；設(shè)出P的坐標(biāo)，求出三個向量的坐標(biāo)，將P的坐標(biāo)用α，β表示，代入圓內(nèi)方程求出范圍．

解答： 解：以A為坐標(biāo)原點，AB為x軸，DA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），D（0，1），C（1，1），B（3，0）
直線BD的方程為x+3y-3=0，C到BD的距離d=

10

10

∴以點C為圓心，且與直線BD相切的圓方程為（x-1）²+（y-1）²=

1

10

，
設(shè)P（x，y）則

AP

=（x，y），

AD

=（0，1），

AB

=（3，0）
∴（x，y）=（3β，α）
∴x=3β，y=α，
∵P在圓內(nèi)
∴（3β-1）²+（α-1）²＜

1

10

，
解得1＜α+β＜

5

3

．
故選：D．

點評：通過建立直角坐標(biāo)系將問題代數(shù)化、考查直線與圓相切的條件、考查向量的坐標(biāo)公式．