Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|+|x-a|（a∈R）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）＜4的解集；
（2）當(dāng)a＜-$\frac{1}{2}$，若存在x≤-$\frac{1}{2}$使得f（x）+x≤3成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 對(duì)第（1）問，將a=2代入f（x）中，分“x≥2”“$-\frac{1}{2}＜x＜2$”“x≤$-\frac{1}{2}$”去掉絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行討論，化簡不等式f（x）＜4，即得其解集；
對(duì)第（2）問，令g（x）=f（x）+x，因存在x≤-$\frac{1}{2}$，使得f（x）+x≤3成立，即g（x）有解，只需[g（x）]_min≤3，作出g（x）的圖象，用a表示g（x）的最小值，解關(guān)于a的不等式即可得a的取值范圍．

解答 解：（1）令|2x+1|=0，得$x=-\frac{1}{2}$；令|x-2|=0，得x=2．
①當(dāng)x≥2時(shí)，原不等式化為2x+1+x-2＜4，即x＜$\frac{5}{3}$，得x∈∅；
②當(dāng)$-\frac{1}{2}＜x＜2$時(shí)，原不等式化為2x+1+2-x＜4，即x＜1，得$-\frac{1}{2}＜x＜1$；
③當(dāng)x≤$-\frac{1}{2}$時(shí)，原不等式化為-2x-1+2-x＜4，即x＞-1，得-1＜x≤$-\frac{1}{2}$．
綜合①、②、③，得原不等式的解集為{x|-1＜x＜1}．
（2）令g（x）=f（x）+x，當(dāng)x≤$-\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）=|x-a|-x-1，
由a＜-$\frac{1}{2}$，得g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1-a，a＜x≤-\frac{1}{2}}\\{-2x+a-1，x≤a}\end{array}\right.$，
由于存在x≤$-\frac{1}{2}$，使f（x）+x≤3成立，即g（x）≤3在（-∞，$-\frac{1}{2}$]內(nèi)有解，
只需[g（x）]_min≤3即可．
作出g（x）的大致圖象，易知，[g（x）]_min=g（a）=-a-1，
∴-a-1≤3，得a≥-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了含絕對(duì)值不等式的解法，以及含參數(shù)的不等式有解問題的求解，關(guān)鍵是善于運(yùn)用分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解．
（1）分類討論時(shí)，同一類中取交集，類與類之間取并集．
（2）常數(shù) m≥g（x）有解，只需m≥[g（x）]_min；m≤g（x）有解，只需m≤[g（x）]_max．