Question

設P：

x2

1-2m

+

y2

m+2

=1表示雙曲線，q：函數g（x）=3x²+2mx+m+

4

3

有兩個不同的零點．
（1）若p為假命題，求實數m的取值范圍，
（2）若p∧q，為假命題，pⅤq為真命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假,雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,簡易邏輯

分析：（1）根據雙曲線的標準方程，二次函數和x軸有兩個交點時△的取值情況即可求出命題p，q下m的取值范圍，從而求出p為假時m的取值范圍；
（2）若p∧q為假命題，p∨q為真命題得到p真q假，或p假q真兩種情況，求出每種情況下m的取值范圍再求并集即可．

解答： 解：由命題p知（1-2m）（m+2）＜0，解得m＜-2，或m＞

1

2

；
由q得，△=4m2-12(m+

4

3

)＞0，解得m＜-1，或m＞4；
∴（1）若p為假命題，則-2≤m≤

1

2

；
∴此時，實數m的取值范圍為[-2，

1

2

]；
（2）由p∧q為假命題，p∨q為真命題知，p，q一真一假；
∴

m＜-2，或m＞ 1 2 -1≤m≤4

，或

-2≤m≤ 1 2 m＜-1，或m＞4

；
解得

1

2

＜m≤4，或-2≤m＜-1；
∴實數m的取值范圍為（

1

2

，4]∪[-2，-1）．

點評：考查雙曲線的標準方程，零點的概念，以及二次函數圖象和x軸交點情況和判別式△的關系，p∧q，p∨q真假和p，q真假的關系．