Question

已知x∈R，奇函數(shù)f（x）=x³-ax²-bx+c在[1，+∞）上單調(diào)．
（1）求字母a，b，c應(yīng)滿足的條件；
（2）設(shè)x₀≥1，f（x₀）≥1，且滿足f[f（x₀）]=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

Answer 1

（1）∵f（0）=0?c=0；f（x）+f（-x）=0?a=0．∵f'（x）=3x²-b，
若f（x）x∈[1，+∞）上是增函數(shù)，則f'（x）≥0恒成立，即b≤（3x²）_min=3
若f（x）x∈[1，+∞）上是減函數(shù)，則f'（x）≤0恒成立，這樣的b不存在．
綜上可得：a=c=0，b≤3．
（2）假設(shè)f（x₀）≠x₀，不妨設(shè)f（x₀）=a＞x₀≥1，
由（1）可知f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，故f[f（x₀）]=f（a）＞f（x₀）＞x₀，
這與已知f[f（x₀）]=x₀矛盾，故原假設(shè)不成立，即有f（x₀）=x₀．