Question

16．已知函數(shù)f（x）=sin2x+2sin（$\frac{π}{4}$+x）cos（$\frac{π}{4}$+x），x∈R．
（1）求f（$\frac{π}{4}$）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（3）求函數(shù)f（x）的最小值及此時(shí)x的集合．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式后，代入x=$\frac{π}{4}$即可得解．
（2）由三角函數(shù)的周期性及其求法即可得解．
（3）由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得函數(shù)f（x）的最小值及此時(shí)x的集合．

解答 解：（1）∵f（x）=sin2x+2sin（$\frac{π}{4}$+x）cos（$\frac{π}{4}$+x）=sin2x+sin（2x+$\frac{π}{2}$）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=1．
（2）函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（3）當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z時(shí)，
即x=kπ-$\frac{3π}{8}$（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最小值-$\sqrt{2}$，
即f（x）_min=-$\sqrt{2}$，x的集合為{x|x=kπ-$\frac{3π}{8}$，k∈Z}．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識的考查．