Question

4．在棱長為2R的正方體容器內裝滿水，先把半徑為R的球放入水中，然后再放入一球，使它淹沒在水中，且使溢出的水最多，則先后放入的兩個球的半徑之比為2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先畫出過正方體對角面的截面圖，設小球的半徑r，通過AS=AO₁+O₁S建立等式，求出r即可求出要使流出來的水量最多時這個鐵球的半徑，即可得出結論．

解答 解：過正方體對角面的截面圖如圖所示，設兩球的交點為S，

AC₁=2$\sqrt{3}$R，AO=$\sqrt{3}$OQ，AS=AO-OS=（$\sqrt{3}$-1）R，
設小球的半徑r，tan∠C₁AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在△AO₁D中，AO₁=$\sqrt{3}$r，
∴AS=AO₁+O₁S，
∴（$\sqrt{3}$-1）R=$\sqrt{3}$r+r．
解得：r=（2-$\sqrt{3}$）R為所求．
要使流出來的水量最多，這個鐵球的半徑應該為（2-$\sqrt{3}$）R，
∴先后放入的兩個球的半徑之比為2+$\sqrt{3}$，
故答案為：2+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查球與多面體相切問題，解決此類問題必須做出正確的截面（即截面一定要過球心），再運用幾何知識解出所求量．