Question

【題目】已知函數(shù) （，為自然對數(shù)的底數(shù)，）.

（1）若函數(shù)僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)（）.且滿足.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）由函數(shù)的解析式可得，則滿足題意時(shí),方程必?zé)o解，分類討論：①當(dāng)時(shí)，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，據(jù)此可得.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）由（1）的結(jié)論可得，知當(dāng)時(shí)，為的唯一極小值點(diǎn)，且，，則，故.要證明，即證.，可轉(zhuǎn)化為，即，據(jù)此構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可知在區(qū)間上是減函數(shù)，，等價(jià)于成立，則原命題得證.

試題解析：

（1）

，

由，得或

因?yàn)?/span>僅有一個(gè)極值點(diǎn)，

所以關(guān)于的方程必?zé)o解，

①當(dāng)時(shí)，無解，符合題意；

②當(dāng)時(shí)，由，得，

故由，得.

故當(dāng)時(shí)，若，

則，此時(shí)為減函數(shù)，

若，則，此時(shí)為增函數(shù)，

所以為的唯一極值點(diǎn)，

綜上，可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）由（1），知當(dāng)時(shí)，為的唯一極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，

，，

所以當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，有另一個(gè)零點(diǎn)，

即，

且，

.①

所以.

下面再證明，即證.

由，得，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為減函數(shù)，

故只需證明，

也就是證明，

因?yàn)?/span>，

由①式，

可得.

令，

則.

令，

因?yàn)?/span>為區(qū)間上的減函數(shù)，且，所以，即

在區(qū)間上恒成立，

所以在區(qū)間上是減函數(shù)，即，所以，

即證明成立，

綜上所述，.