18.如圖所示,四棱錐S-ABCD是底面ABCD為等腰梯形,CD∥AB,AC⊥BD,垂足為O,側(cè)面SAD⊥底面ABCD,且∠ADS=$\frac{π}{2}$,AB=8,AD=$\sqrt{34}$,SD=$\sqrt{30}$,M為BS的中點.
(1)求證BS⊥平面AMC;
(2)求三棱錐B-CMD的體積.

分析 (1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出SD⊥平面ABCD,根據(jù)等腰梯形及對角線垂直計算CD,SA,SC,得出SA=AB,SC=BC,故而AM⊥SB,CM⊥SB,于是SB⊥平面AMC;
(2)計算BD,OC,得出S△BCD,于是VB-CDM=VM-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•\frac{1}{2}SD$.

解答 證明:(1)∵梯形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD.
∴OC=OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD,OA=OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=4$\sqrt{2}$.
∴AD2=OA2+OD2,即34=32+$\frac{1}{2}C{D}^{2}$,
∴CD=2.
∵平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,且∠ADS=$\frac{π}{2}$,
∴SD⊥平面ABCD,
∴SD⊥AD,SD⊥CD.
∴SA=$\sqrt{S{D}^{2}+A{D}^{2}}$=8,CD=$\sqrt{S{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{34}$.
∴SA=AB,SC=BC.
∵M(jìn)是SB的中點,
∴AM⊥SB,CM⊥SB.
又AM?平面AMC,CM?平面AMC,AM∩CM=M,
∴BS⊥平面AMC.
(2)∵M(jìn)是BS的中點,
∴M到平面ABCD的距離h=$\frac{1}{2}SD$=$\frac{\sqrt{30}}{2}$.
∵BD=OB+OD=5$\sqrt{2}$,OC=$\sqrt{2}$,
∴S△BCD=$\frac{1}{2}BD•OC$=$\frac{1}{2}×5\sqrt{2}×\sqrt{2}=5$.
∴VB-CMD=VM-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•h$=$\frac{1}{3}×5×\frac{\sqrt{30}}{2}$=$\frac{5\sqrt{30}}{6}$.

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì),棱錐的體積計算,屬于中檔題.

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