Question

【題目】如圖，點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是橢圓C： （a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)F1做x軸的垂線交橢圓C的上半部分于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F2作直線PF2垂線交直線 于點(diǎn)Q．
（Ⅰ）如果點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（4，4），求此時(shí)橢圓C的方程；
（Ⅱ）證明：直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）將點(diǎn)P（﹣c，y1）（y1＞0）代入 得
∴P
∵點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（4，4），PF2⊥QF2
∴
∵
∴a=2，c=1，b=
∴橢圓C的方程為 ；
（Ⅱ）證明：設(shè)Q ，∵PF2⊥QF2
∴
∴y2=2a
∴
∵P ，∴
∵ ，∴
∴y′=
∴當(dāng)x=﹣c時(shí)，y′= =
∴直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)
【解析】（Ⅰ）將點(diǎn)P（﹣c，y1）（y1＞0）代入 ，可求得P ，根據(jù)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（4，4），PF1⊥QF2 ， 即可求得橢圓C的方程；（Ⅱ）利用PF1⊥QF2 ， 求得 ，從而可求 ，又 ，求導(dǎo)函數(shù)，可得x=﹣c時(shí)，y′= = ，故可知直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)．