Question

12．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．
（1）若a₁=1，b_n=n，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．
（i）記c_n=a_6n-1（n≥1），求證：數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列；
（ii）若數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復出現(xiàn)無數(shù)次，求首項a₁應滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)遞推數(shù)列求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）（i）根據(jù)等差數(shù)列的定義，證明數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列；
（ii）設c_n=a_6（n-1）+i（n∈N^*），判斷數(shù)列{a_6（n-1）+i}以7為公差的等差數(shù)列；
設f_k=$\frac{{a}_{6k+i}}{6k+i}$，計算f_k+1-f_k的值，求出a₁滿足的條件即可．

解答 解：（1）當n≥2時，有a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1
=$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{n}{2}$+1；     …（2分）
又a₁=1也滿足上式，所以數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{n}{2}$+1；…（4分）
（ 2）（ i）因為對任意的n∈N^*，有b_n+6=$\frac{_{n+5}}{_{n+4}}$=$\frac{1}{_{n+3}}$=$\frac{_{n+1}}{_{n+2}}$=b_n，
所以c_n+1-c_n=a_6n+5-a_6n-1
=b_6n-1+b_6n+b_6n+1+b_6n+2+b_6n+3+b_6n+4
=1+2+2+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=7，
所以，數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列；   …（8分）
（ ii）設c_n=a_6（n-1）+i（n∈N^*）（其中i為常數(shù)且i∈{1，2，3，4，5，6}，
所以c_n+1-c_n=a_{6（n-1）+6+i}-a_6（n-1）+i
=b_6（n-1）+i+b_{6（n-1）+i+1}+b_{6（n-1）+i+2}+b_{6（n-1）+i+3}
+b_{6（n-1）+i+4}+b_{6（n-1）+i+5}=7，
即數(shù)列{a_6（n-1）+i}均為以7為公差的等差數(shù)列；    …（10分）
設f_k=$\frac{{a}_{6k+i}}{6k+i}$=$\frac{{a}_{i}+7k}{i+6k}$=$\frac{\frac{7}{6}（i+6k）{+a}_{i}-\frac{7}{6}i}{i+6k}$=$\frac{7}{6}$+$\frac{{a}_{i}-\frac{7}{6}i}{i+6k}$
（其中n=6k+i，k≥0，i為{1，2，3，4，5，6}中一個常數(shù)）
當a_i=$\frac{7}{6}$i時，對任意的n=6k+i，有$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{7}{6}$；       …（12分）
當a_i≠$\frac{7}{6}$i時，f_k+1-f_k=$\frac{{a}_{i}-\frac{7}{6}i}{i+6（k+1）}$-$\frac{{a}_{i}-\frac{7}{6}i}{i+6k}$=（a_i-$\frac{7}{6}$i）•$\frac{-6}{[i+6（k+1）]（i+6k）}$
①若a_i＞$\frac{7}{6}$i，則對任意的k∈N有f_k+1＜f_k，所以數(shù)列{$\frac{{a}_{6k+i}}{6k+i}$}為遞減數(shù)列
②若a_i＜$\frac{7}{6}$i，則對任意的k∈N有f_k+1＞f_k，所以數(shù)列{$\frac{{a}_{6k+i}}{6k+i}$}為遞增數(shù)列．
綜上所述，集合B={$\frac{7}{6}$}∪{$\frac{4}{3}$}∪{$\frac{1}{2}$}∪{-$\frac{1}{3}$}∪{-$\frac{1}{6}$}={$\frac{7}{6}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{6}$}．
當a₁∈B時，數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}中必有某數(shù)重復出現(xiàn)無數(shù)次；
當a₁∉B時，數(shù)列{$\frac{{a}_{6k+i}}{6k+i}$}（i=1，2，3，4，5，6）均為單調(diào)數(shù)列，
任意一個數(shù)在這6個數(shù)列中最多出現(xiàn)一次，
所以數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}任意一項的值均未在該數(shù)列中重復出現(xiàn)無數(shù)次．（16分）

點評 本題考查了等差數(shù)列的定義與應用問題，也考查了遞推數(shù)列關(guān)系與應用問題，是綜合題．