Question

4．已知正項等差數(shù)列{a_n}前三項的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上2，5，13后成為等比數(shù)列{b_n}中的b₁，b₂，b₃
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）令c_n=$\frac{1}{a_n^2-1}+{b_n}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)列方程解出a₂，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)列方程求出公差，從而得出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式
（2）分別求出{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$}和{b_n}的前n項和，即可得出S_n．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₁+a₂+a₃=3a₂=15，∴a₂=5，
∴{b_n}中的b₁，b₂，b₃依次為7-d，10，18+d，∴（7-d）（18+d）=100，
解得d=2或d=-13（舍去），
∴a₁=3，∴a_n=2n+1，
∵b₁=5，b₂=10，∴q=2．
∴${b_n}={b_1}•{q^{n-1}}=5•{2^{n-1}}$．
（2）$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）+$\frac{5（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{1}{4}•$$\frac{n}{n+1}$+5（2ⁿ-1）．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列求和，屬于中檔題．