Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）用函數(shù)單調(diào)性定義證明f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，并求出f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）直接利用奇函數(shù)的定義判斷函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)為（-∞，+∞）上的增函數(shù)，再把函數(shù)解析式變形求得函數(shù)值域．

解答 （1）解：∵$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$的定義域為R，且f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}}}{\frac{1+{2}^{x}}{{2}^{x}}}$=$-\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)；         
（2）證明：設(shè)x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-1}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\frac{{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}-1-{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}-{2}^{{x}_{2}}+{2}^{{x}_{1}}+1}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$
=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$．
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$，則$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
由$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$=$\frac{{2}^{x}+1-2}{{2}^{x}+1}=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$，且2^x+1＞1，∴-2$＜-\frac{2}{{2}^{x}+1}＜0$，
則f（x）∈（-1，1）．
即f（x）的值域為（-1，1）．

點評 本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查了利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了函數(shù)值域的求法，是中檔題．