Question

橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上，離心率為，以短軸的一個端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點(diǎn)P（0，m）存在直線l與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A，B，滿足：且，求常數(shù)λ的值和實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓方程為 由題意得出a，b，c的關(guān)系，由此能夠求出a，b，c的值，從而得到所求橢圓方程．
（2）設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量條件即可求得m的取值范圍，從而解決問題．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為：，
由題意知，，且，
解得：a=1，．
故橢圓C的方程為：y²+2x²=1．
（2）由得，，
∴，
∴1+λ=4，λ=3．
當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，
且與橢圓C的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由得：（k²+2）x²+2kmx+m²-1=0，
∴△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0，，，
由得-x₁=3x₂，
∴x₁+x₂=-2x₂，x₁x₂=-3x₂²，
消去x₁，x₂得：3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
即，（4m²-1）k²=2-2m²．
當(dāng)時，上式不成立，∴，
代入△＞0，即k²＞2m²-2，得恒成立，
即，解得，
∴或．
當(dāng)直線l與x軸垂直時，l的方程為：x=0得．
綜上所述：m的取值范圍為．
點(diǎn)評：本題考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設(shè)計新穎，基礎(chǔ)性強(qiáng) 待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，向量問題，成為解決本題的關(guān)鍵．本題考查圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．