（2010•武漢模擬）若橢圓C的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，過左焦點F（-c，0）的直線交橢圓C于P、Q兩點，若
FP
=(1，
3
)，且
1
|PF|
+
1
|QF|
=
4
3
．
（1）若
PF
=λ
FQ
，求實數(shù)λ值；
（2）求橢圓C的方程．
分析：（1）先由向量的坐標(biāo)求出向量
FP
的模，又結(jié)合題中條件：
1
|
PF
|
+
1
|
QF
|
=
4
3
得到關(guān)于λ的等式即可實數(shù)λ值；
（2）設(shè)直線的方程為y=
3
(x+c)，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用
1
|PF|
+
1
|QF|
=
4
3
即可求得b值，從而解決問題．
解答：解：（1）∵
PF
=λ
FQ
，λ＞0，又
FP
=(1，
3
)有|
FP
|=2
又
1
|
PF
|
+
1
|
QF
|
=
4
3

則有
1
2
+
λ
2
=
4
3
，求得λ=
5
3
…（6分）
（2）設(shè)過左焦點的直線與橢圓交于P（x1，y1），Q（x2，y2）
由橢圓的第二定義可知：|PF|=a+cx1=a+
c
a
(1-c)=2則2a=c+b2
又y=
3
(x+c)代入
x2
a2
+
y2
b2
=1中得(b2+3a2)x2+6a2cx+a2(3c2-b2)=0
得x1+x2=
-6a2c
b2+3a2
，x1x2=
a2(3c2-b2)
b2+3a2

又
1
|PF|
+
1
|QF|
=
1
a+ex1
+
1
a+ex2

=
2a+e(x1+x2)
a2+ae(x1+x2)+e2x1x2
=
2a+
c
a
(
-6a2c
b2+3a2
)
a2+c(
-ba2c
b2+3a2
)+c2(
3c2-b2
b2+3a2
)

=
8a(a2-c2)
4(a2-c2)2
=
4
3
，即b2=
3
2
a
又b2=2a-c，從而求得a=2，c=1，b=
3

因此所求橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1．…（13分）
點評：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想．屬于基礎(chǔ)題．
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（-1，-3）
（-1，-3）
．

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1+an
3-an
(n∈N*)，且a1=0．
（1）求a2，a3；
（2）若存在一個常數(shù)λ，使得數(shù)列{
1
an-λ
}為等差數(shù)列，求λ值；
（3）求數(shù)列{an}通項公式．

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3
5
，-
π
2
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（-1，0）
（-1，0）
．

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