Question

11．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁和F₂，左右頂點分別為A₁和A₂，過焦點F₂與x軸垂直的直線和雙曲線的一個交點為P，若|$\overrightarrow{P{A}_{1}}$|是|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|和|$\overrightarrow{{A}_{1}{F}_{2}}$|的等比中項，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$+1
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由題意可得A₁（-a，0），A₂（a，0），F₁（-c，0），F₂（c，0），令x=c，可得P的坐標，再由等比數列的中項的性質，可得（c+a）²+（$\frac{^{2}}{a}$）²=2c（c+a），化簡整理，由此可求雙曲線的離心率．

解答 解：由題意可得A₁（-a，0），A₂（a，0），F₁（-c，0），F₂（c，0），
令x=c，可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
可取P（c，$\frac{^{2}}{a}$），
由|$\overrightarrow{P{A}_{1}}$|是|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|和|$\overrightarrow{{A}_{1}{F}_{2}}$|的等比中項，
可得|$\overrightarrow{P{A}_{1}}$|²=|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|•|$\overrightarrow{{A}_{1}{F}_{2}}$|，
即有（c+a）²+（$\frac{^{2}}{a}$）²=2c（c+a），
化為（c+a）（c-a）=c²-a²=b²=$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，
即有a=b，c=$\sqrt{2}$a，
由e=$\frac{c}{a}$可得e=$\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用等比數列中項的性質，以及離心率公式和a，b，c的關系，考查學生的化簡計算能力，屬于中檔題．