Question

1．若定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x，y∈（-1，1），都有$f（x）+f（y）=f（\frac{x+y}{1+xy}）$，則稱f（x）為漂亮函數(shù)．
（1）已知$g（x）=lg\frac{1-x}{1+x}$，問(wèn)g（x）是否為漂亮函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（2）已知f（x）為漂亮函數(shù)，判斷f（x）的奇偶性；
（3）若漂亮函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，都有f（x）＞0，試判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平了函數(shù)的定義，證明g（x）+g（y）=g（$\frac{x+y}{1+xy}$），即可．
（2）利用賦值法，x=y=0求出f（0）的值，結(jié)合y=-x，利用已知條件，推出函數(shù)是奇函數(shù)即可．
（3）先設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，然后作差求f（x₁）-f（x₂），根據(jù)題目條件進(jìn)行化簡(jiǎn)變形判定其符號(hào)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判定．

解答 解：（1）∵g（x）+g（y）=lg$\frac{1-x}{1+x}$+lg$\frac{1-y}{1+y}$=lg（$\frac{1-x}{1+x}$•$\frac{1-y}{1+y}$）=lg$\frac{1+xy-（x+y）}{1+xy+x+y}$，
g（$\frac{x+y}{1+xy}$）=lg$\frac{1-\frac{x+y}{1+xy}}{1+\frac{x+y}{1+xy}}$=lg$\frac{1+xy-（x+y）}{1+xy+x+y}$，
則g（x）+g（y）=g（$\frac{x+y}{1+xy}$），成立，即g（x）是漂亮函數(shù)．
證明：由x=y=0得f（0）+f（0）=f（$\frac{0+0}{1+0}$）=f（0），∴f（0）=0，
任取x∈（-1，1），則-x∈（-1，1），f（x）+f（-x）=f（$\frac{x-x}{1-{x}^{2}}$）=f（0）=0．
∴f（x）+f（-x）=0，
即f（x）=-f（-x）．
∴f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)．
f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，
∵f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)，且f（0）=0，
∴只需要證明當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性即可，
證明：設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$）．
∵x∈（0，1）時(shí)，都有f（x）＞0，
∴x∈（-1，0）時(shí)，都有f（x）＜0
而x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1所以-1＜$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$＜0
∵當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f（x）＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$）＜0
即當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增．
即f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用以及，函數(shù)的單調(diào)性的判定與證明，以及函數(shù)奇偶性的判定，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在定義域上的“整體”性質(zhì)，單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì)，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．