Question

12．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的宣傳費x_i和年銷售量y_i（i=1，2，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．（表中w₁=$\sqrt{x}$₁，$\overline w$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^n{w_i}$）

$\overline x$	$\overline y$	$\overline w$	$\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}$	$\sum_{i=1}^n{{{（{w_i}-\overline w）}^2}}$	$\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}$	$\sum_{i=1}^n{（{w_i}-\overline w）（{y_i}-\overline y）}$
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

（Ⅰ）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d$\sqrt{x}$，哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；
（Ⅱ）根據(jù)（ I）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z=0.2y-x，根據(jù)（ II）的結(jié)果回答下列問題：
（i）當年宣傳費x=90時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值時多少？
（ii）當年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)散點圖，即可判斷出，
（Ⅱ）先建立中間量w=$\sqrt{x}$，建立y關(guān)于w的線性回歸方程，根據(jù)公式求出w，問題得以解決；
（Ⅲ）（i）年宣傳費x=90時，代入到回歸方程，計算即可，
（ii）求出預(yù)報值得方程，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由散點圖可以判斷，$y=c+d\sqrt{x}$適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型；
（Ⅱ）令w=$\sqrt{x}$，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于d=68，c=563-68×6.8=100.6，
所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y=100.6+68w，
因此y關(guān)于x的回歸方程為y=100.6+68$\sqrt{x}$，
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，當x=90時，年銷售量y的預(yù)報值y=100.6+68$\sqrt{90}$=745.2，
年利潤z的預(yù)報值z=745.2×0.2-90=59.04，
（ii）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果可知，年利潤z的預(yù)報值z=0.2（100.6+68$\sqrt{x}$）-x=-x+13.6$\sqrt{x}$+20.12，
當$\sqrt{x}$=6.8時，年利潤的預(yù)報值最大為66.36千元．

點評 本題主要考查了線性回歸方程和散點圖的問題，準確的計算是本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．