Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C₁的方程為x²+y²=1，以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）將曲線C₁上的所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的$\sqrt{3}$倍，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍后得到曲線C₂，試寫出直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C₂的參數(shù)方程；
（2）設(shè)P為曲線C₂上任意一點，求點P到直線l的最大距離．

Answer 1

分析 （1）直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（2cosθ-sinθ）=6，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標(biāo)方程．將曲線C₁上的所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的$\sqrt{3}$倍，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍后得到曲線C₂：$（\frac{x}{\sqrt{3}}）^{2}+（\frac{y}{2}）^{2}$=1，進(jìn)而得到參數(shù)方程．
（2）設(shè)P$（\sqrt{3}cosθ，2sinθ）$，利用點到直線的距離公式與三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出最大值．

解答 解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（2cosθ-sinθ）=6，化為2x-y-6=0．
將曲線C₁上的所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的$\sqrt{3}$倍，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍后得到曲線C₂：$（\frac{x}{\sqrt{3}}）^{2}+（\frac{y}{2}）^{2}$=1，即$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
可得曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）；
（2）設(shè)P$（\sqrt{3}cosθ，2sinθ）$，則點P到直線l的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-2sinθ-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|4cos（θ+\frac{π}{6}）-6|}{\sqrt{5}}$，
當(dāng)$cos（θ+\frac{π}{6}）$=-1時，d_max=$\frac{|-4-6|}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、圖象變換，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．